פרמטר, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – f(x) = cos(mx) + cos(2x)חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 23
בגרות 571 · קיץ 2021 מועד מיוחד · שאלה 7 · סעיפים א–ב
שיעור 23 – פרמטר, חיתוך וקיצון מבגרות 571 – f(x) = cos(mx) + cos(2x)
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – הוכחה ש־m = 4n
3סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים
4סעיף ב(2) – נקודות קיצון
5לבדיקה – הגרף
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = cos(mx) + cos(2x) , m הוא פרמטר שונה מ־0.
נתון: f′(π4) = −2 .
א. הראו כי m = 4n , כאשר n הוא מספר שלם שונה מ־0.
הציבו m = 4 , וענו על סעיף ב.
ב. בתחום 0 ≤ x ≤ π :
📄 נוסח השאלה · המשך
(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x) , וקבעו את סוגן.
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n
גוזרים כל איבר לפי הנוסחה לקוסינוס של ax ( m הוא מספר קבוע):
[cos(mx)]′ = −m · sin(mx)
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
f′(x) = −m · sin(mx) − 2sin(2x)
נתון ערך הנגזרת ב־x = π4 . נכתוב את הנגזרת:
f′(x) = −m sin(mx) − 2sin(2x)
נציב x = π4 :
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n · המשך
נציב x = π4 :
f′(π4) = −m sin(mπ4) − 2sin(2π4)
sin π2 = 1
📐 ערך מיוחד
f′(π4) = −m · sin mπ4 − 2
לפי הנתון זה שווה ל־−2 :
−m · sin mπ4 − 2 = −2
📐 ערך מיוחד
sin π2 = 1
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n · המשך
−m · sin mπ4 − 2 = −2
−m · sin mπ4 = 0
מכפלה שווה 0, ו־m ≠ 0 , ולכן:
📐 מכפלה שווה 0
sin mπ4 = 0
הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0. לפי הנוסחה ( n שלם):
mπ4 = 2πn
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n · המשך
mπ4 = 2πn
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
mπ4 = π + 2πn
שתי המשפחות יחד הן כל הכפולות של π (זוגיות ואי־זוגיות), כלומר:
mπ4 = πn
כופלים ב־4 ומחלקים ב־π :
m = 4n
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – הוכחה ש־m = 4n · המשך
m = 4n
ו־n ≠ 0 , כי m ≠ 0 . הוכח.
✅ פתרון סופי: הוכח: m = 4n , n שלם שונה מ־0
סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים
מציבים m = 4 :
f(x) = cos(4x) + cos(2x)
חיתוך עם ציר ה־y – נציב x = 0 :
f(0) = cos(4 · 0) + cos(2 · 0)
f(0) = 1 + 1 = 2
חיתוך עם ציר ה־x – משווים ל־0:
סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
חיתוך עם ציר ה־x – משווים ל־0:
cos(4x) + cos(2x) = 0
הזווית 4x היא פי 2 מ־2x . כדי שתהיה רק זווית אחת, נכתוב את cos(4x) בעזרת cos(2x) (נוסחת הזווית הכפולה, כשהזווית היא 2x ):
cos(4x) + cos(2x) = 0
נציב cos(4x) = 2cos2(2x) − 1 :
📐 קוסינוס של זווית כפולה
2cos2(2x) − 1 + cos(2x) = 0
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = 2cos2x − 1
סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
2cos2(2x) − 1 + cos(2x) = 0
נסמן t = cos(2x) ונקבל משוואה ריבועית:
2t2 + t − 1 = 0
t = −1 ± √(1 + 8)4 = −1 ± 34
📐 נוסחת השורשים
t = 12 , t = −1
אפשרות 1: cos(2x) = 12 . הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 :
📐 נוסחת השורשים
t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
אפשרות 1: cos(2x) = 12 . הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 :
2x = ±π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = ±π6 + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π : x = π6 ( k = 0 ) ו־x = −π6 + π = 5π6 ( k = 1 ).
אפשרות 2: cos(2x) = −1 . הזווית שהקוסינוס שלה −1 היא π :
2x = π + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
2x = π + 2πk
x = π2 + πk
בתחום: x = π2 .
✅ פתרון סופי: ציר ה־y: (0 , 2) ; ציר ה־x: (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)
סעיף ב(2) – נקודות קיצון
הנגזרת (מסעיף א עם m = 4 ):
f′(x) = −4sin(4x) − 2sin(2x)
משווים ל־0. גם כאן יש זווית 4x וזווית 2x , ולכן נפתח את sin(4x) (הזווית הכפולה של 2x ):
−4sin(4x) − 2sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
נציב sin(4x) = 2sin(2x) · cos(2x) :
📐 סינוס של זווית כפולה
−4 · 2sin(2x) · cos(2x) − 2sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
−4 · 2sin(2x) · cos(2x) − 2sin(2x) = 0
−8sin(2x) · cos(2x) − 2sin(2x) = 0
גורם משותף −2sin(2x) :
−2sin(2x) · (4cos(2x) + 1) = 0
לכן sin(2x) = 0 או 4cos(2x) + 1 = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin(2x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 1: sin(2x) = 0
2x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
2x = π + 2πk
x = πk , x = π2 + πk
בתחום: x = 0 , x = π2 , x = π .
אפשרות 2:
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 2:
cos(2x) = −14
זו לא זווית מיוחדת – משתמשים במחשבון במצב רדיאנים (R על המסך): SHIFT cos ( − 1 ÷ 4 ) = ומקבלים 1.82 (מעוגל).
2x ≈ ±1.82 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x ≈ ±0.91 + πk
בתחום: x ≈ 0.91 ( k = 0 ) ו־x ≈ −0.91 + π ≈ 2.23 ( k = 1 ).
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
בתחום: x ≈ 0.91 ( k = 0 ) ו־x ≈ −0.91 + π ≈ 2.23 ( k = 1 ).
(בערך 0.29π ו־0.71π .)
סוג הנקודות – נציב מספר מכל תחום בנגזרת המפורקת (במחשבון, מצב רדיאנים):
f′(x) = −2sin(2x) · (4cos(2x) + 1)
f′(0.5) ≈ −5.32 < 0
f′(1.2) ≈ 2.63 > 0
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
f′(1.2) ≈ 2.63 > 0
f′(1.9) ≈ −2.65 < 0
f′(2.6) ≈ 5.08 > 0
שיעורי y. בשתי נקודות המינימום cos(2x) = −14 . נכתוב את הפונקציה בעזרת cos(2x) (כמו בסעיף ב(1)):
f(x) = 2cos2(2x) − 1 + cos(2x)
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
f(x) = 2cos2(2x) − 1 + cos(2x)
f = 2 · cos2(2x) − 1 + cos(2x)
נציב cos(2x) = −14 :
f = 2 · (−14)2 − 1 + (−14)
f = 216 − 1 − 14 = −98
בשאר הנקודות מציבים בפונקציה f(x) = cos(4x) + cos(2x) :
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
בשאר הנקודות מציבים בפונקציה f(x) = cos(4x) + cos(2x) :
f(π2) = cos(4 · π2) + cos(2 · π2)
f(π2) = cos 2π + cos π = 1 − 1 = 0
f(π) = cos(4π) + cos(2π)
f(π) = 1 + 1 = 2
ו־f(0) = 2 (מסעיף ב(1)).
סעיף ב(2) – נקודות קיצון · המשך
ו־f(0) = 2 (מסעיף ב(1)).
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 2) , מינימום (0.91 , −98) , מקסימום (π2 , 0) , מינימום (2.23 , −98) , מקסימום קצה (π , 2)
לבדיקה – הגרף
כך נראה הגרף בתחום – רואים את כל הנקודות שמצאנו (ב־π2 הגרף נוגע בציר ה־x ):
✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובות
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכח
סעיף ב(1)
(0 , 2) ; (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)
סעיף ב(2)
מקס. (0 , 2) , (π2 , 0) , (π , 2) ; מינ. (0.91 , −98) , (2.23 , −98)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא